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<!DOCTYPE html>

<title>Parallelprojektion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Parallelprojektion</h1>

</header>

</div>

Eine Parallelprojektion ist eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Abbildung</a> von Punkten des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, wobei die Projektionsstrahlen zueinander <a href="Parallel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parallel (Geometrie)">parallel</a> sind. Treffen die Projektionsstrahlen im <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</a> auf die Projektionsebene, handelt es sich um eine <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektion</a>. Treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Bildebene, handelt es sich um eine schräge Parallelprojektion beziehungsweise eine <a href="Axonometrie" title="Axonometrie">Axonometrie</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Eine Parallelprojektion kann als Grenzfall einer <a href="Zentralprojektion" title="Zentralprojektion">Zentralprojektion</a> angesehen werden, bei der sich das Projektionszentrum im <a href="Fernelement" title="Fernelement">Unendlichen</a> befindet. Parallelprojektionen dienen häufig dazu, <a href="Schr%C3%A4gbild" class="mw-redirect" title="Schrägbild">Schrägbilder</a> von geometrischen Körpern herzustellen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beschreibung">Beschreibung</h2></div>

Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man bei einer Parallelprojektion dadurch, dass man die <a href="Parallel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parallel (Geometrie)">Parallele</a> zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt. <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind – soweit definiert – ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft. Die Größe eines projizierten <a href="Winkel" title="Winkel">Winkels</a> stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird ein <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> im Allgemeinen auf ein <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt für <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreise</a>, die im Allgemeinen in <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipsen</a> übergehen.

Im Allgemeinen treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Projektionsfläche. Man spricht dann von einer schrägen oder schiefen Parallelprojektion. Beispiele hierfür sind die <a href="Kavalierperspektive" title="Kavalierperspektive">Kavalierprojektion</a> und <a href="Vogelperspektive" title="Vogelperspektive">Vogelperspektive</a>.

Am häufigsten wird eine <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektion</a> (auch orthogonale oder orthographische Parallelprojektion genannt) angewendet. Hier treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene. Auf dieser Projektion beruhen die <a href="Technische_Zeichnung" title="Technische Zeichnung">technischen Zeichnungen</a> der Ingenieure und Architekten, wobei der Sonderfall dominiert, dass eine der drei Hauptebenen der oft würfelförmigen technischen Gegenstände parallel zur Projektionsfläche ist (<a href="Dreitafelprojektion" class="mw-redirect" title="Dreitafelprojektion">Dreitafelprojektion</a>). Um Zeichnungen mit räumlichem Eindruck zu erstellen, wird diese Parallelität aufgehoben. Die Gegenstände werden geneigt. Je nach Neigungswinkel(n) entstehen zum Beispiel <a href="Isometrische_Axonometrie" class="mw-redirect" title="Isometrische Axonometrie">Isometrien</a> oder <a href="Dimetrie" class="mw-redirect" title="Dimetrie">Dimetrien</a>. Die so erhaltenen Bilder werden oft fälschlicherweise als Bilder in Kavalierperspektive angesehen. Die Orthogonalprojektion entspricht einer <a href="Fotografie" title="Fotografie">Fotografie</a> mit einem <a href="Telezentrisches_Objektiv" title="Telezentrisches Objektiv">telezentrischen Objektiv</a> oder näherungsweise einer Fotografie aus großer Entfernung, vorteilhaft mit einem <a href="Teleobjektiv" title="Teleobjektiv">Teleobjektiv</a> aufgenommen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_von_Bildpunkten">Berechnung von Bildpunkten</h2></div>

Soll ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf eine (in <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Ebenengleichung" title="Normalenform">Normalenform</a> gegebene) Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E:~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E:~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd0ad4824c009140bafa43b39c9218b4e9fdd29b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E:~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}" loading="lazy"> mittels einer Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> abgebildet werden, so ist der Bildpunkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> der Schnittpunkt der Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> mit dem Richtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:~{\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+\lambda {\vec {v}},~\lambda \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd01042fa0a8cee464d4d21d6f25e12923e1a64b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-top: -0.4ex; width:24.735ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle g:~{\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+\lambda {\vec {v}},~\lambda \in \mathbb {R} }" loading="lazy"></dd></dl>

Lässt man Ebene und Gerade schneiden, so ergibt sich für den Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">:

<mfrac>

<mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ={\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34318e3be01243ec4c8f084ad8e115c2dc0074b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-top: -0.496ex; width:16.233ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda ={\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Setzt man diesen in die Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ein, so erhält man den Schnittpunkt dieser mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und damit den Bildpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef4efa52c8f47f06136f6ebfd1d68c1249aaca39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'}" loading="lazy">:

<mover>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {OP'}}={\overrightarrow {OP}}+{\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ee19f585029944a4d56ad4111e38b4724e59357.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-top: -0.496ex; width:28.796ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {OP'}}={\overrightarrow {OP}}+{\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {v}}={\vec {n}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {v}}={\vec {n}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdefc96d8962fb21b20aac39afa3db86390e0cac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.478ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {v}}={\vec {n}})}" loading="lazy">, so erhält man als Spezialfall die <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektion</a> des Punkts auf die Ebene.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Synthetische_Geometrie">Synthetische Geometrie</h2></div>

In der <a href="Synthetische_Geometrie" title="Synthetische Geometrie">synthetischen Geometrie</a> spielt die Parallelprojektion einer Geraden in einer affinen Ebene auf eine andere Gerade der gleichen Ebene eine grundlegende Rolle. Die Definition lautet hier:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine <a href="Affine_Ebene" title="Affine Ebene">affine Ebene</a> und seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> verschiedene Geraden der Ebene aufgefasst als Mengen der auf ihr liegenden Punkte. Eine <a href="Bijektiv" class="mw-redirect" title="Bijektiv">bijektive</a> Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/894ec9a536b1feb0fcbaa2fb68668e6df4317985.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}" loading="lazy"> heißt Parallelprojektion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">, wenn gilt:

<ol><li>Schneiden sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> in einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (S)=S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (S)=S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb2f13466b60de00924c4d27721e3bf07f1b102c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (S)=S}" loading="lazy">.</li>

<li>Für zwei verschiedene Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,Q\in g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,Q\in g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fc88e92c00bf516b6f629efb05ae127d5e1d544.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,Q\in g}" loading="lazy">, die nicht zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> gehören, gilt stets</li></ol>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\pi (P)\parallel Q\pi (Q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37349dfd7bfeac2ae2024245405e0e97ec44ba25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P\pi (P)\parallel Q\pi (Q)}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

Ergänzend wird aus formalen Gründen definiert: Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50f4fd70b1200ffb96f9b7dccc5b64296e8da9f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.553ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=h}" loading="lazy"> ist die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">identische Abbildung</a> die einzige Parallelprojektion.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften_und_Bedeutung">Eigenschaften und Bedeutung</h3></div>

Die wichtigsten formalen Eigenschaften der so definierten Parallelprojektionen zwischen Geraden einer beliebigen, aber hier fest gewählten affinen Ebene:

<ul><li>Jede Parallelprojektion der Ebene ist umkehrbar und ihre Umkehrabbildung ist eine Parallelprojektion.</li>

<li>Zu zwei beliebigen Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g,h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g,h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e02d6e92a89cf24b614a0dc77ba984907888a39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.489ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g,h}" loading="lazy"> der Ebene existiert stets eine Parallelprojektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/894ec9a536b1feb0fcbaa2fb68668e6df4317985.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi :g\rightarrow h}" loading="lazy">.</li></ul>

<dl><dd><ul><li>Diese Parallelprojektion ist die Identität, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50f4fd70b1200ffb96f9b7dccc5b64296e8da9f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.553ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=h}" loading="lazy"> ist.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\neq h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7b3935dafb6c0c5db8cff4ad4a67fa31c4ac80e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.553ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle g\neq h}" loading="lazy"> ist eine solche Parallelprojektion durch ein einziges Punkt-Bildpunktpaar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P,\pi (P))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P,\pi (P))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/629a255afb3965249020651f65d7d83c91e3bbe5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.475ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P,\pi (P))}" loading="lazy"> eindeutig bestimmt, sofern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> nicht der Schnittpunkt der Geraden ist.</li>

<li>Wählt man zwei Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\in g,P'\in h}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\in g,P'\in h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ff58790d257886989c65e0d274af74b8d31e5fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.422ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P\in g,P'\in h}" loading="lazy">, die beide nicht Schnittpunkte der Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> sind, dann existiert genau eine Parallelprojektion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef4efa52c8f47f06136f6ebfd1d68c1249aaca39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P'}" loading="lazy"> abbildet.</li></ul></dd></dl>

<ul><li>Die <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition</a> von zwei Parallelprojektionen der Ebene, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{2},\,\pi _{23}:g_{2}\rightarrow g_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{2},\,\pi _{23}:g_{2}\rightarrow g_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb8cfda90229ca900a5e572f95e8914856d1ae14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.579ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{2},\,\pi _{23}:g_{2}\rightarrow g_{3}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{23}\circ \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{23}\circ \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d3804597461e31a12b64c245f7515d04e8394ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.475ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pi _{23}\circ \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{3}}" loading="lazy"> ist stets eine bijektive Abbildung, aber sie ist im Allgemeinen keine Parallelprojektion.</li></ul>

Der Begriff der Parallelprojektion erlaubt es, den Begriff der <a href="Affinit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Affinität (Mathematik)">Affinität</a> auf <a href="Satz_von_Desargues" title="Satz von Desargues">nichtdesarguesche</a> affine Ebenen zu verallgemeinern. Allgemein wird definiert:

<dl><dd>Eine <a href="Kollineation" title="Kollineation">Kollineation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha :A\rightarrow A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha :A\rightarrow A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeb213c3023fd4c0c476a24409bb50c273f880f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.525ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha :A\rightarrow A}" loading="lazy"> auf einer affinen Ebene heißt Affinität, wenn für jede Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\subset A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\subset A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23b39f7eecb511148ace851855d2415d5edee90d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.958ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\subset A}" loading="lazy"> die Einschränkung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.\alpha \right|_{g}:g\rightarrow \alpha (g)}">

<msub>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\alpha \right|_{g}:g\rightarrow \alpha (g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae1eacf0792736a145f754e0a19d43bacc8c3b11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.236ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left.\alpha \right|_{g}:g\rightarrow \alpha (g)}" loading="lazy"> durch eine endliche Komposition von Parallelprojektionen darstellbar ist.</dd></dl>

Durch diese Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen bilden die verallgemeinerten Affinitäten eine <a href="Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> der <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> aller Kollineationen auf der affinen Ebene. Die ergänzende Definition für Parallelprojektionen, mit der die identische Abbildung der Ebene zu einer Affinität wird, sichert die Existenz wenigstens einer Affinität. Es ist nicht bekannt, ob es affine Ebenen gibt, auf denen die identische Abbildung die einzige Affinität ist.

Affinitäten erben durch ihre Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen alle <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">Invarianzeigenschaften</a> der Parallelprojektionen:

In einer affinen Ebene, die dem <a href="Fano-Axiom" title="Fano-Axiom">affinen Fano-Axiom</a> genügt, ist die Mitte von zwei Punkten invariant unter Parallelprojektionen und daher auch unter Affinitäten.

In einer <a href="Affine_Translationsebene" title="Affine Translationsebene">affinen Translationsebene</a> gilt

<ul><li>Sind drei <a href="Kollinear" class="mw-redirect" title="Kollinear">kollineare</a> Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T,P,Q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T,P,Q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2750cdea9a46648ab7873e9cd38d288eac0d6eb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T,P,Q)}" loading="lazy"> kommensurabel, dann sind es auch ihre Bilder unter jeder Parallelprojektion und jeder Affinität.</li>

<li>Der Streckungsfaktor und das Teilverhältnis von drei verschiedenen kollinearen und kommensurablen Punkten sind invariant unter Parallelprojektionen und Affinitäten.</li></ul>

Da umgekehrt jede teilverhältnistreue Kollineation auf einer desargueschen Ebene die verallgemeinerte Definition einer Affinität erfüllt, sind für desarguesche Ebenen genau die teilverhältnistreuen Kollineationen Affinitäten. Eine desarguesche Ebene ist stets isomorph zu einer <a href="Tern%C3%A4rk%C3%B6rper" title="Ternärkörper">Koordinatenebene</a> über einem <a href="Schiefk%C3%B6rper" title="Schiefkörper">Schiefkörper</a> und eine affine Translationsebene mit der Zusatzeigenschaft, dass kollineare Punkte stets kommensurabel sind.

Damit fällt der verallgemeinerte Begriff „Affinität“ für desarguesche Ebenen mit dem aus der analytischen Geometrie gewohnten zusammen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Eine Translation in einer affinen Inzidenzebene ist stets eine Affinität im Sinne der verallgemeinerten Definition (vgl. den Hauptartikel <a href="Affine_Translationsebene" title="Affine Translationsebene">Affine Translationsebene</a>). Allerdings existieren auch affine Inzidenzebenen, die außer der Identität keine weitere Translation zulassen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Satz_von_Cauchy_(Geometrie)" title="Satz von Cauchy (Geometrie)">Satz von Cauchy</a>, über die mittlere Fläche konvexer Körper bei Parallelprojektion</li>

<li><a href="Axonometrie" title="Axonometrie">Axonometrie</a>, <a href="Orthogonale_Axonometrie" title="Orthogonale Axonometrie">orthogonale Axonometrie</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

Darstellende Geometrie:

<ul><li>Fucke, Kirch, Nickel: <cite style="font-style:italic">Darstellende Geometrie</cite>. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.au=Fucke%2C+Kirch%2C+Nickel&rft.btitle=Darstellende+Geometrie&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=3446007784&rft.place=Leipzig&rft.pub=Fachbuch-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Cornelie Leopold: <cite style="font-style:italic">Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung</cite>. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.au=Cornelie+Leopold&rft.btitle=Geometrische+Grundlagen+der+Architekturdarstellung&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=317018489X&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Verlag+W.+Kohlhammer" style="display:none"> </li>

<li>Kurt Peter Müller: <cite style="font-style:italic">Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen</cite>. Mathematik-ABC für das Lehramt. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2004, 2. Kapitel, 2.2.3, S. 38 ff. (Schiefe Parallelprojektion).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.atitle=2.+Kapitel%2C+2.2.3&rft.au=Kurt+Peter+M%C3%BCller&rft.btitle=Raumgeometrie%3A+Raumph%C3%A4nomene+-+Konstruieren+-+Berechnen&rft.date=2004&rft.edition=2.+%C3%BCberarbeitete+und+erweiterte&rft.genre=bookitem&rft.pages=38ff&rft.place=Stuttgart%2FLeipzig%2FWiesbaden&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </li>

<li><a href="Eduard_Stiefel" title="Eduard Stiefel">Eduard Stiefel</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der darstellenden Geometrie</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften</cite>. Mathematische Reihe. 2. veränderte Auflage. Band 6. Birkhäuser, Basel/Stuttgart 1960 (Ausführliche und anwendungsnahe Darstellung der senkrechten Parallel- und speziell Dreitafelprojektion).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.atitle=Lehrbuch+der+darstellenden+Geometrie&rft.au=Eduard+Stiefel&rft.btitle=Lehrb%C3%BCcher+und+Monographien+aus+dem+Gebiete+der+exakten+Wissenschaften&rft.date=1960&rft.edition=2.+ver%C3%A4nderte&rft.genre=book&rft.place=Basel%2FStuttgart&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.volume=6" style="display:none"> </li></ul>

Synthetische Geometrie:

<ul><li>Wendelin Degen und Lothar Profke: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematik für das Lehramt an Gymnasien</cite>. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.atitle=Grundlagen+der+affinen+und+euklidischen+Geometrie&rft.au=Wendelin+Degen+und+Lothar+Profke&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+das+Lehramt+an+Gymnasien&rft.date=1976&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=3519027518&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </li></ul>

Zur Geschichte des Begriffes:

<ul><li><a href="Jeremy_Gray" title="Jeremy Gray">Jeremy Gray</a>: <cite style="font-style:italic">Worlds out of nothing</cite>. A course in the history of geometry of the 19th Century. 1. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-0-85729-059-5, 1. Kapitel.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.atitle=1.+Kapitel&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=Worlds+out+of+nothing&rft.date=2007&rft.edition=1.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9780857290595&rft.place=Berlin%2FHeidelberg%2FNew+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Gaspard Monge</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Géométrie descriptive</cite>. 7. Auflage. Paris 1847 (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/gomtriedescript00monggoog">archive.org</a> – Erste systematische Behandlung der Dreitafelprojektionen und der Parallelprojektion im allgemeinen, Erstauflage 1811).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.au=Gaspard+Monge&rft.btitle=G%C3%A9om%C3%A9trie+descriptive&rft.date=1847&rft.edition=7.&rft.genre=book&rft.place=Paris" style="display:none"> </li>

<li>Guido Schreiber: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der darstellenden Geometrie</cite>. nach Monge’s Géométrie descriptive. 1. vollständig bearbeitete Auflage. Herder, Karlsruhe und Freiburg 1928 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/lehrbuchderdars00schrgoog">archive.org</a> – Stark überarbeitete deutsche Übersetzung des Lehrbuchs von G. Monge).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.au=Guido+Schreiber&rft.btitle=Lehrbuch+der+darstellenden+Geometrie&rft.date=1928&rft.edition=1.+vollst%C3%A4ndig+bearbeitete&rft.genre=book&rft.place=Karlsruhe+und+Freiburg&rft.pub=Herder" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp: <cite style="font-style:italic">Leitfaden Geometrie. Für Studierende der Lehrämter</cite>. 6., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum. Springer Fachmedien Verlag, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-06465-5, S. 329 und 331.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Parallelprojektion&rft.au=Hans-Joachim+Gorski%2C+Susanne+M%C3%BCller-Philipp&rft.btitle=Leitfaden+Geometrie.+F%C3%BCr+Studierende+der+Lehr%C3%A4mter&rft.date=2014&rft.edition=6.%2C+%C3%BCberarbeitete+und+erweiterte&rft.genre=book&rft.isbn=9783658064655&rft.pages=329+und+331&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Springer+Spektrum.+Springer+Fachmedien+Verlag" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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